SV giải bài tập HGT của Thầy Sơn

Bài làm của học sinh: Nguyễn Thị Thanh Huyền
Mã số sinh viên : K40.101.055

Lớp :K40 toán A

Đề bài:

Bài 1.3: Cho tam giác ABC có trung tuyến CM vuông góc với đường phân giác trong AL. Cho biết \dfrac{CM}{AL}=n. Hãy tính góc A theo n.

Tối nay thầy sẽ post bài giải. Chúc mừng bạn Huyền đã giải toán và đánh máy gửi cho thầy.

hinh

Đặt AB = c ; AC = b ; BC = a.
Gọi H là giao điểm của AL và CM, theo đề bài suy ra AH vuông góc MC.
Xét tam giác AMC có AH vừa là đường cao, vừa là phân giác, suy ra tam giác AMC cân tại A. Vậy AC = AM.

Ta có: AC=AM=\dfrac{AB}{2}, nghĩa là  c = 2b \quad (1).

Mặt khác do CM là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AB nên :

\overrightarrow{CM}=\dfrac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)

Bình phương vô hướng hai vế ta có:

CM^2=\dfrac14\left(CA^2+CB^2+2\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac14(2b^2+2a^2-c^2)

Từ (1) , Thay c = 2b , suy ra

CM^{2} = \dfrac{1}{4} \left(2b^2 +2a^2 - {4b}^2 \right) = \dfrac{1}{4} \left(2a^2 - 2b^2 \right) = \dfrac{1}{2}(a^2 -b^2) \quad (2)

Vì AL là đường phân giác góc A của tam giác ABC, suy ra :

\overrightarrow{AL} = \dfrac{1}{b+c}\left({b.\overrightarrow{AB} + c .\overrightarrow{AC}}\right)

Bình phương hai vế và tính toán như trên, ta có:

AL^2=\dfrac{2b^2.c^2 + bc (b^2+c^2-a^2)} {(b + c)^2}

Từ (1), Thay c=2b, suy ra:

AL^2 =2b^2 - \dfrac29 a^2

Theo đề bài CM = n.AL

Bình phương hai vế và thay các giá trị thích hợp vào ta có:

{a} ^ {2} = \dfrac{9(1+4 {n} ^ {2} )}{9+4 {n} ^ {2}} {b^2}

Theo định lí hàm số cosin :

\cos A = \dfrac{{b} ^ {2} + {c} ^ {2} - {a} ^ {2}}{2 bc} = \dfrac{{b} ^ {2} + 4b^2 - \dfrac{9(1+4 {n} ^ {2} )}{9+4 {n} ^ {2}} {b^2}}{4b^2}=\dfrac{9 - 4 {n} ^ {2}}{9+4 {n} ^ {2}}

Vậy:

A = \arccos\left(\dfrac{9 - 4 {n} ^ {2}}{9 + 4 {n} ^ {2}}\right)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s