Một bài toán hay về Đại số vectơ

Bài toán:

Trong không gian cho tứ diện ABCD . Đặt

\overrightarrow{DA}=\vec{a} , \overrightarrow{DB}=\vec{b} , \overrightarrow{DC}=\vec{c} .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ABC.

Chứng minh rằng:

\overrightarrow{DH}=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{\left(\vec{d}\right)^2}.\vec{d}

Ở đây ký hiệu (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) là tích hỗn tạp của ba vectơ và

\vec{d}=[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{c},\vec{a}] .

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn Dxyz gốc D . Ta có: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=\vec{b}-\vec{a}\ ;\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec{c}-\vec{a}

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

[\vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]=[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{c},\vec{a}]=\vec{d}

Lấy X là một điểm tùy ý trên mặt phẳng (ABC) và đặt \vec{x}=\overrightarrow{DX} . Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

\vec{d}.(\overrightarrow{x}-\vec{a}) = 0

Khai triển và thu gọn:
\vec{d}.\vec{x}-(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0

Hình chiếu của gốc tọa độ D lên mặt phẳng (ABC) xác định bởi:
\overrightarrow{DH}=\vec{d}.t với

t=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{d}|^2}

Vậy

\overrightarrow{DH}=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{\left(\vec{d}\right)^2}.\vec{d}

3 responses to “Một bài toán hay về Đại số vectơ

  1. Em chào Thầy!
    Chúc Thầy năm mới với mọi điều thật suôn sẻ và vui vẻ nhé!
    Thầy ơi hình như bài viết này Thầy copy từ BLOGSPOT của Thầy qua phải không Thầy? Em thấy công thức Toán học bị lệch so với chữ. Không đẹp như khi Thầy gõ trực tiếp trên WORDPRESS ấy Thầy.

    • Bên WP công thức toán học hay bị lệch so với văn bản. Đó là lý do thầy chuyển sang blogspot để hiển thị công thức toán học tốt hơn.

      • Dạ, em cám ơn Thầy đã trả lời. Thầy ơi, đây là lần đầu tiên em thấy công thức hiển thị không đẹp như vậy trên WP ấy.
        Tất cả những bài Thầy đã post trước đây, em chưa bao giờ thấy bị như vậy hết đó Thầy. ^.^

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s