Thông báo số 2 về việc nâng cấp bài học ôn thi cao học

11 Bài giảng của PGS TS Nguyễn Bích Huy

  1. KHÔNG GIAN MÊTRIC
  2. KHÔNG GIAN MÊTRIC (bổ sung)
  3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC
  4. TẬP COMPACT, KHÔNG GIAN COMPACT
  5. BÀI ÔN TẬP
  6. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
  7. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
  8. KHÔNG GIAN HILBERT
  9. ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
  10. HÀM ĐO ĐƯỢC
  11. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE
  12. ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 MÔN THI : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Kỳ tới: Các bài giảng của PGS TS Mỵ Vinh Quang.

7 responses to “Thông báo số 2 về việc nâng cấp bài học ôn thi cao học

  1. Chào thầy, ở tập tin huy3.pdf (phiên bản mới, Ngày 9 tháng 11 năm 2013) mà thầy đưa lên có lỗi đánh máy sai ở trang 2, mục “Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngược”

    Cụ thể là f^{-1} của giao hai tập thì bằng f^{-1} của tập thứ nhất “giao” với f^{-1} của tập thứ hai, trong tập tin lại đánh máy là “hợp”

    Thầy ơi, vì là file pdf nên chúng em không thể tự sửa chữa được khi phát hiện lỗi đánh máy,nếu em muốn sữa chữa để bài giảng ôn tập này hoàn thiện hơn thì có thể liên hệ ở đâu để xin file .tex ạ?

    Mong sớm nhận được hồi âm của thầy.

    • \documentclass[a4paper,12pt]{article}
      \usepackage[utf8]{inputenc}
      \usepackage[vietnam]{babel}
      \usepackage[utopia]{mathdesign}
      \usepackage{color}
      \usepackage{indentfirst,amsmath}
      \usepackage{times} 
      \setlength{\parindent}{20pt}
      \usepackage{graphicx} 
      \newtheorem{dl}{Định lí}
      \newcommand{\tchat}{\vspace{12pt}\noindent \textbf{Tính chất}}
      \newtheorem{dn}{\textbf{Định nghĩa}}
      \newtheorem{vd}{Thí dụ}
      \newtheorem{giai}{Giải}
      \newtheorem{cm}{Chứng minh}
      \newtheorem{tinhchat}{Tính chất}
      \DeclareMathOperator{\inter}{Int}
      \newtheorem{cy}{Chú ý}
      \newtheorem{gchu}{Ghi chú}
      \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
      \DeclareMathOperator{\tg}{tg}
      \newtheorem{baitap}{}[section]
      \renewcommand{\thebaitap}{\arabic{baitap})}
      \newtheorem{baigiai}{Giải}
      \newcounter{spacerule}
      \newenvironment{btap}
          {\begin{list}
              {\upshape \bfseries Bài \arabic{spacerule}.}
              {
               \setlength{\parsep}{0.5ex plus 0.2ex minus 0.1ex}
               \setlength{\itemsep}{3ex plus 0.2ex minus 0.2ex}
               \usecounter{spacerule}
              } }
          {\end{list}}
          \newcommand{\kht}{\longrightarrow\hspace{-3ex}\hbox{/}\hspace{1.6ex}}
          \DeclareMathOperator{\Int}{Int}
      \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
      \begin{document}
      \newcommand{\dis}{\displaystyle}
      \everymath{\displaystyle}
      \newtheorem{hq}{Hệ quả} 
      \title{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\textbf{GIẢI TÍCH CƠ SỞ \\ (ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC)}} \\ \textbf{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{KHÔNG GIAN MÊTRIC\\ ÁNH XẠ LIÊN TỤC }}}
      \author{PGS TS Nguyễn Bích Huy}
      \maketitle
      
      \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
      
      \section{Tóm tắt lý thuyết}
      \subsection{Định nghĩa}
      Cho các không gian metric $(X,d)$, $(Y,\rho)$ và ánh xạ $f: X \to
      Y$
      
      \begin{itemize}
          \item Ta nói ánh xạ $f$ liên tục tại điểm $x_0 \in X$ nếu\\
                  $\forall \varepsilon > 0,
                     \exists \delta >0:
                     \forall x \in X,
                     d(x, x_0) < \delta
                     \Longrightarrow
                     \rho (f(x),f(x_0)) < \varepsilon $
          \item Ta nói $f$ liên tục trên $X$ nếu $f$ liên tục tại mọi $x
                  \in X$
      \end{itemize}
      
      
      \subsection{Các tính chất}
      Cho các không gian metric $(X,d)$, $(Y, \rho)$ và ánh xạ $f :X \to
      Y$.
      
      \begin{dl} \label{dl:3.1}\rm
      Các mệnh đề sau tương đương
      \begin{enumerate}
          \item $f$ liên tục tại $x_0 \in X$
          \item $\forall \{ x_n \} \subset X \quad (\lim x_n = x_0)
                  \Longrightarrow \lim f(x_n) = f(x_0)$
      \end{enumerate}
      \end{dl}
      
      \begin{hq}\rm
      Nếu ánh xạ $f: X \to Y$ liên tục tại $x_0$ và ánh xạ $g: Y \to Z$
      liên tục tại $y_0 = f(x_0)$ thì ánh xạ hợp $g \circ f : X \to Z$
      liên tục tại $x_0$.
      \end{hq}
      
      \begin{dl} \label{dl:3.2}\rm
      Các mệnh đề sau tương đương
      \begin{enumerate}
          \item $f$ liên tục trên $X$
          \item Với mọi tập mở $G \subset Y$ thì tập nghịch ảnh
          $f^{-1}(G)$ là tập mở trong $X$.
          \item Với mọi tập đóng $F \subset Y$ thì tập $f^{-1}(F)$ là
          tập mở trong $X$.
      \end{enumerate}
      \end{dl}
      
      
      \subsection{Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôi}
      Cho các không gian metric $X$, $Y$ và ánh xạ $f: X \to Y$.
      \begin{itemize}
          \item Ánh xạ $f$ gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu với mọi tập mở
          (đóng) $A \subset X$ thì ảnh $f(A)$ là tập mở (đóng).
          \item Ánh xạ $f$ gọi là ánh xạ đồng phôi nếu $f$ là song ánh
          liên tục và ánh xạ ngược $f^{-1}: Y \to X$ liên tục.
      \end{itemize}
      
      
      \subsection{Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngược}
      Cho các tập $X$, $Y$ khác trống và ánh xạ $f: X \to Y$. Với các
      tập $A, A_i \subset X$ và $B, B_i \subset Y$, ta có
      \begin{enumerate}
          \item $\displaystyle f\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) =
                  \bigcup_{i \in I} f(A_i)$, \qquad
                $\displaystyle f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) \subset
                  \bigcap_{i \in I} f(A_i)$
          \item $\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} B_i\right) =
                  \bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$, \qquad
                $\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap_{i \in I} B_i\right) =
                  \bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$
      
                $\displaystyle f^{-1}(B_1 \setminus B_2) =
                  f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$
          \item $f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B$ ("=" nếu $f$ là toàn ánh)
      
                $f^{-1}(f(A)) \supset A$ ("=" nếu $f$ là đơn ánh)
      \end{enumerate}
      
      
      
      \section*{Bài tập}
      
      \begin{baitap}\rm
      Trong không gian $C_{[a,b]}$, ta xét metric %
      $\displaystyle d(x,y) = \sup_{a \leq t \leq b} |x(t) - y(t)|$ %
      và trong $\mathbb{R}$ ta xét metric thông thường. Chứng minh các
      ánh xạ sau đây liên tục từ $C_{[a,b]}$ vào $\mathbb{R}$.
      \begin{enumerate}
          \item $\displaystyle f_1(x) = \inf_{a \leq t \leq b} x(t)
                $
          \item $f_2(x) = \int \limits _a^b x^2 (t) dt$
      \end{enumerate}
      
      \end{baitap}
      
      \begin{giai}\rm
      \begin{enumerate}
          \item Ta sẽ chứng minh $|f_1 (x) - f_1(y)| \leq d(x,y)$ \qquad
                  (*)
      
                Thật vậy
      
                $\displaystyle \qquad f_1(x) \leq x(t) =
                 y(t) + (x(t) - y(t)) \leq y(t) + d(x,y) \qquad
                 \forall t \in [a,b]
                $
                \\
                $\displaystyle \Longrightarrow
                  f_1(x) - d(x,y) \leq y(t), \qquad \forall t \in [a,b]
                $
                \\
                $\Longrightarrow \displaystyle
                  f_1(x) - d(x,y) \leq f_1(y)
                $
                \quad
                hay
                \quad
                $f_1(x) - f_1(y) \leq d(x,y)$
      
                Tương tự, ta có $f_1(y) - f_1(x) \leq d(x,y)$  nên (*)
                đúng. Từ đây, ta thấy
      
                $\displaystyle \forall \{ x_n \},
                  \lim_{n \to \infty} x_n = x
                  \Longrightarrow
                  \lim_{n \to \infty} f_1(x_n) = f_1(x)
                $
      
          \item Xét tùy ý %
                $x \in C_{[a,b]}$, $\{ x_n \} \subset C_{[a,b]}$
                mà $\lim x_n = x$, ta cần chứng minh %
                
                $\lim f_2 (x_n) = f_2(x)$
      
                Ta có
                \begin{align*}
                |x_n^2 (t) - x^2 (t)|
                  &= |x_n(t) - x(t)|.|x_n(t) - x(t) + 2 x(t)| \\
                  &\leq d(x_n, x).[d(x_n,x) + M] \qquad \qquad
                      (M = \sup_{a \leq t \leq b} 2 |x(t)|) \\
                \Longrightarrow
                |f_2(x_n) - f_2(x)|
                  &\leq \int \limits _a^b |x_n^2(t) - x^2(t)| dt \\
                  &\leq d(x_n, x) [d(x_n, x) + M](b-a)
                \end{align*}
      
                Do $\lim d(x_n, x) = 0$ nên từ đây ta có %
                $\lim f_2 (x_n) = f_2(x)$ \quad (đpcm)
      \end{enumerate}
      \end{giai}
      
      \begin{gchu}\rm
      Ta có thể dùng các kết quả về ánh xạ liên tục để giải bài tập 3
      (\S2). Ví dụ, để chứng minh tập
      $$
        M =
        \{ x \in C_{[a,b]} : x(t) > x_0(t), \quad \forall t \in [a,b]
        \}
        \qquad (x_0 \in C_{[a,b]} \text{ cho trước })
      $$
      là tập mở, ta có thể làm như sau. Xét ánh xạ
      $$
        f: C_{[a,b]} \to \mathbb{R}, \quad
        f(x) = \inf_{a \leq t \leq b} (x(t) - x_0(t))
      $$
      Ta có:
      \begin{itemize}
          \item $f$ liên tục (lý luận như khi chứng minh $f_1$ liên tục)
          \item $M = \{x \in C_{[a,b]}: f(x) > 0 \}
                   = f^{-1}((0, +\infty))$, $(0, \infty)$ là tập mở
                trong $\mathbb{R}$
      \end{itemize}
      \end{gchu}
      
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho các không gian metric $X$, $Y$ và ánh xạ $f: X \to Y$. Các
      mệnh đề sau là tương đương
      \begin{enumerate}
          \item $f$ liên tục trên $X$
          \item $f^{-1} (\overline{B}) \supset
                  \overline{f^{-1}(B)}        \qquad \forall B \subset Y$
          \item $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}
                  \qquad \qquad \forall A \subset X$
      \end{enumerate}
      \end{baitap}
      
      \begin{giai}\rm
      
      \begin{description}
          \item[\,\,1) $\Rightarrow$ 2)] Ta có
              $$
              \left\{%
                \begin{array}{ll}
                  f^{-1}(\overline{B}) \text{ là tập đóng (do $f$ liên %
                  tục và $\overline{B} \subset Y$ là tập đóng)  } \\
                  f^{-1}(\overline{B}) \supset f^{-1}(B)
                \end{array}%
              \right.
              $$
              $$
              \Longrightarrow f^{-1}(\overline B) \supset
              \overline{f^{-1}(B)} \qquad \text{(do tính chất "nhỏ nhất"
              của bao đóng)}
              $$
      
          \item[\quad \qquad 2) $\Rightarrow$ 3)] Đặt $B = f(A)$ trong
              2), ta có
              $
                f^{-1}(\overline{f(A)} \,) \supset
                \overline{f^{-1}(f(A))} \supset \overline{A}
              $
      
              \qquad \qquad \quad Do đó
              $
                f(f^{-1}(\overline{f(A)} \, )) \supset
                f(\overline{A})
              $
              $
                \Longrightarrow \overline{f(A)} \supset
                f(\overline{A})
              $
      
          \item[\quad \qquad 3) $\Rightarrow$ 1)] Xét tùy ý tập đóng %
              $F \subset Y$, ta cần chứng minh $f^{-1}(F)$ là tập đóng.
      
              \qquad \qquad \quad Đặt $A = f^{-1}(F)$, ta có
      
              \qquad \qquad \qquad \quad
              $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)} = %
               \overline{f(f^{-1}(F))} \subset \overline{F} = F \quad
              $ (do $F$ đóng)
      
              \qquad \qquad \quad
              $\Longrightarrow f^{-1}(f(\overline{A})) \subset f^{-1}(F)
              $
      
              \qquad \qquad \quad
              $\Longrightarrow \overline{A} \subset A
              $
      
              \qquad \qquad \quad
              Vậy $\overline{A} = A$ nên $A$ là tập đóng.
      \end{description}
      \end{giai}
      
      \begin{baitap}\rm
      Trong $C_{[a,b]}$ ta xét metric %
      $d(x,y) = sup \{ |x(t) - y(t)|, a \leq t \leq b \}$. Cho %
      $\varphi: [a,b] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm liên tục.
      Chứng minh ánh xạ sau đây liên tục
      $$
       F: C_{[a,b]} \to C_{[a,b]}, \qquad F(x)(t) = \varphi(t, x(t))
      $$
      \end{baitap}
      
      \begin{giai}\rm
      Cố định $x_0 \in C_{[a,b]}$, ta sẽ chứng minh $F$ liên tục tại
      $x_0$.
      
      Đặt $\displaystyle M = 1 + \sup_{a\leq t \leq b} |x_0(t)|$. Cho
      $\varepsilon > 0$ tùy ý.
      
      Hàm $\varphi$ liên tục trên tập compact %
      $D := [a,b] \times [-M, M]$ nên liên tục đều trên $D$. Do đó, tồn
      tại số $\delta_1 > 0$ sao cho
      $$
        \forall (t,s), (t',s') \in D, |t - t'| < \delta_1,
        |s-s'|<\delta_1 \Longrightarrow
        |\varphi (t, s) - \varphi (t', s')| < \varepsilon
      $$
      
      Đặt $\delta = \min (\delta_1, 1)$. Với mỗi $x \in C_{[a,b]}$,
      $d(x, x_0) < \delta$, ta có
      
      $\qquad |x(t) - x_0 (t)| < \delta$  \quad $\forall t \in [a,b]$
      
      \qquad $x(t) \in [-M, M]$ \qquad (do $|x(t) - x_0 (t)| <1$, %
      $\forall t \in [a,b]$)
      
      Do đó, $|\varphi (t, x(t)) - \varphi (t, x_0 (t) )|<\varepsilon$,
      \quad $\forall t \in [a,b]$
      
      \qquad $\Longrightarrow |F(x)(t) - F(x_0)(t)| < \varepsilon$, %
      \quad $\forall t \in [a,b]$
      
      \qquad $\Longrightarrow  d(F(x), F(x_0)) < \varepsilon$
      
      Như vậy, ta đã chứng minh
      
      $\qquad \qquad
        \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: %
        \forall x \in C_{[a,b]}, d(x, x_0) < \delta
        \Rightarrow d(F(x), F(x_0)) < \varepsilon
      $\\
      hay $F$ liên tục tại $x_0$.
      \end{giai}
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho các không gian metric $X$, $Y$ và song ánh $f: X \to Y$. Chứng
      minh các mệnh đề sau tương đương
      \begin{enumerate}
          \item $f^{-1} : Y \to X$ liên tục
          \item $f$ là ánh xạ đóng
      \end{enumerate}
      \end{baitap}
      
      \begin{giai}\rm
      Ta có $(f^{-1}: Y \to X$ liên tục)
      
      $\Longleftrightarrow (\forall A \subset X, A$ đóng %
          $\Rightarrow {(f^{-1})}^{-1} (A)$ đóng trong $Y$)
      
      $\Longleftrightarrow (\forall A \subset X, A$ đóng %
          $\Rightarrow f(A)$ đóng)
      
      $\Longleftrightarrow (f: X \to Y$ là ánh xạ đóng)
      \end{giai}
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho không gian metric $(X, d)$. Với $x \in X$, %
      $\varnothing \neq A \subset X$, ta định nghĩa
      $$
          d(x,A) = \inf_{y \in A} d(x,y)
      $$
      
      Chứng minh các khẳng định sau đây
      
      \begin{enumerate}
          \item Ánh xạ $f: X \to \mathbb{R}$, $f(x) = d(x,A)$ liên tục
          \item $x \in \overline{A} \Leftrightarrow d(x, A) = 0$
          \item Nếu $F_1$, $F_2$ là các tập đóng, khác $\varnothing$ và
          $F_1 \cap F_2 = \varnothing$ thì tồn tại các tập mở $G_1$,
          $G_2$ sao cho
          $$
            F_1 \subset G_1, \quad F_2 \subset G_2, \quad G_1 \cap G_2 = \varnothing
          $$
      \end{enumerate}
      \end{baitap}
      
      \begin{giai}\rm
      \begin{enumerate}
          \item Ta sẽ chứng minh
              $|f(x) - f(x')| \leq d(x, x')$   \qquad (*)
      
              Thật vậy, ta có %
              $d(x,y) \leq d(x, x') + d(x', y) \quad \forall y \in A$
      
              $\qquad \qquad \quad \displaystyle \Longrightarrow
                \inf_{y \in A} d(x, y) \leq d(x, x') +
                      \inf_{y \in A} d(x',y)
              $
      
              $\qquad \qquad \quad
               \Longrightarrow d(x, A) - d(x', A) \leq d(x, x')$
      
          \item Ta có
              \begin{align*}
                  d(x, A) = 0 &\Longleftrightarrow
                        (\exists \{ x_n \} \subset A:
                         \lim_{n \to \infty} d(x, x_n) = 0)
                         \quad (\text{do tính chất của $\inf$ và
                         $d(x, A) \geq 0$)} \\
                      &\Longleftrightarrow
                          (\exists \{x_n \} \subset A: \lim x_n = x) \\
                      &\Longleftrightarrow x \in \overline{A} \\
              \end{align*}
      
          \item Ta xét ánh xạ $g: X \to \mathbb{R}$, \quad %
              $g(x) = d(x,F_1) - d(x, F_2)$
      
              Ta có $g$ liên tục theo câu 1)
      
              Đặt $G_1 = \{ x \in X : g(x) < 0 \}$, %
                  $G_2 = \{ x \in X : g(x) > 0 \}$, ta có
      
              \begin{itemize}
                  \item $G_1 \cap G_2 = \varnothing$
                  \item $G_1$, $G_2$ là các tập mở (do $G_1 = g^{-1}((-\infty,0))$,
                        $G_2 = g^{-1}((0, +\infty))$, $(0, +\infty)$,%
                        $(-\infty, 0)$ là các tập mở và $g$ liên tục).
                  \item $F_1 \subset G_1$ vì %
                        $\displaystyle x \in F_1
                          \Rightarrow
                          \left\{
                          \begin{array}{l}
                            d(x, F_1) = 0 \\
                            d(x, F_2) > 0 \quad \text{ (do } x \notin F_2
                              \text{ và kết quả câu 2))}
                             \\
                          \end{array}
                          \right.
                        $
      
                        \qquad \qquad \qquad \qquad
                        $\Rightarrow g(x) < 0$
      
                        Tương tự, $F_2 \subset G_2$
              \end{itemize}
      
      \end{enumerate}
      \end{giai}
      
      
      \section*{Bài tập tự giải có hướng dẫn}
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho các không gian metric $X$, $(Y_1, d_1)$, $(Y_2, d_2)$. Trên
      $Y_1 \times Y_2$, ta xét metric
      
      \qquad \qquad \quad
      $
        d((y_1, y_2), (y'_1, y'_2)) = d_1(y_1, y'_1) + d_2(y_2, y'_2)
      $
      
      Giả sử rằng $f_1: X \to Y_1$, $f_2 : X \to Y_2$ là các ánh xạ
      liên tục. Chứng minh rằng ánh xạ $f: X \to Y_1 \times Y_2$, %
      $f(x) = (f_1(x), f_2(x))$ liên tục.
      \end{baitap}
      
      \subsubsection*{Hướng dẫn}
      
      Sử dụng định lý \ref{dl:3.1} và điều kiện hội tụ trong không gian
      metric tích trong bài tập ở \S1.
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho các không gian metric $X$, $Y$ và ánh xạ $f: X \to Y$. Chứng
      minh các mệnh đề sau tương đương:
      \begin{enumerate}
          \item $f$ liên tục trên $X$
          \item $f^{-1}(\Int B) \subset \Int f^{-1}(B)$ \quad
                  $\forall B \subset Y$
      \end{enumerate}
      \end{baitap}
      
      \subsubsection*{Hướng dẫn}
      \begin{itemize}
          \item $1) \Rightarrow 2)$ Áp dụng định lý \ref{dl:3.2} và tính
              chất "lớn nhất" của phần trong.
          \item $2) \Rightarrow 1)$ Áp dụng định lý \ref{dl:3.2} và tính
              chất $G = \Int G$ nếu $G$ mở.
      \end{itemize}
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho các không gian metric $(X,d)$, $(Y, \rho)$ và các ánh xạ liên
      tục $f, g: X \to Y$. Ta định nghĩa ánh xạ
      
      \qquad \qquad \qquad
      $h: X \to \mathbb{R}$, \quad $h(x) =
      \rho(f(x), g(x))$, $x \in X$
      
      \begin{enumerate}
          \item Chứng minh $h$ liên tục
          \item Suy ra rằng tập $A := \{x \in X : f(x) = g(x) \}$ là tập
          đóng.
      \end{enumerate}
      \end{baitap}
      
      \subsubsection*{Hướng dẫn}
      \begin{enumerate}
          \item Chứng minh rằng nếu $d_n \overset{d}{\longrightarrow} x$
          thì $h(x_n) \to h(x)$ trong $\mathbb{R}$, sử dụng tính chất
          $y_n \overset{\rho}{\longrightarrow} y$, %
          $z_n \overset{\rho}{\longrightarrow} z$ thì
          $\rho(y_n, z_n) \to \rho(y, z)$
          \item $A= h^{-1}(\{0\})$, $\{ 0 \}$ là tập đóng trong
          $\mathbb{R}$
      \end{enumerate}
      
      \begin{baitap}\rm
      Cho không gian metric $(X,d)$ và $A$, $B$ là các tập đóng khác
      $\varnothing$, không giao nhau. Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ
      liên tục $f: X \to \mathbb{R}$ sao cho
      
      \qquad\qquad\qquad $0 \leq f(x) \leq 1$, \quad $\forall x \in X$,
      
      \qquad\qquad\qquad\quad $f(x) = 0$, \quad $\forall x \in A$,
      
      \qquad\qquad\qquad\quad $f(x) = 1$, \quad $\forall x \in B$
      \end{baitap}
      
      \subsubsection*{Hướng dẫn}
      Chứng minh hàm $f(x) = \dfrac{d(x, A)}{d(x,A) + d(x,B)}$ cần tìm.
      \end{document}
      
  2. ^_^
    Vâng, em rất cảm ơn thầy về file nguồn này, em sẽ tiếp tục kiểm tra xem các file còn lại có bị lỗi đánh máy hay không? Nếu có thì em sẽ post lên web này để các ebook ôn thi của trường ngày càng hoàn thiện.

  3. Thầy ơi, sao lâu quá chưa thấy phần nâng cấp các bài giảng Đại số vậy ạ?

  4. Pingback: Ôn thi ThS CTU 2015 đợt 1 ngành LL&PPDH Toán | Mai Mẫn Tiệp

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s