Tô-pô Đại số

Bắt đầu từ ngày 18/3/2013 sinh viên năm 3 của Khoa Toán-Tin ĐHSP TP HCM sẽ bắt đầu học chuyên đề. Nếu lớp chuyên đề Nhập môn Tô-pô Đại số hình thành được (vì theo học chế tín chỉ, sinh viên đăng ký đúng số lượng thì lớp học mới được hình thành) thì tôi sẽ chịu trách nhiệm giảng dạy môn học này. Để hình dung được nội dung học tập tôi giới thiệu đề cương chi tiết học phần để các sinh viên theo dõi và hình dung được tiến trình học tập.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN-TIN HỌC

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN

1. Thông tin chung về học phần
   1.1. Tên học phần: Nhập môn về Tôpô Đại số
   1.2. Tên học phần bằng tiếng Anh: Introdution to Algebraic Topology
   1.3. Mã học phần:
   1.4. Học phần tiên quyết:
   Các học phần phải tích lũy trước: không
   Các học phần phải học trước: Tôpô đại cương, Đại số đại cương 2
   1.5. Chương trình đào tạo: Giáo dục đại học
   1.6. Ngành đào tạo: Sư phạm toán học
   1.7. Số tín chỉ: 3 Số tiết : 45 tiết (45/0/0/0)
   1.8. Yêu cầu phục vụ cho học phần: máy chiếu
2. Tóm tắt nội dung học phần
   Tôpô vốn là một khoa học thuộc lĩnh vực Hình học. Rất nhiều bài toán kinh điển của Tôpô học không thể giải quyết được khi ta chỉ dùng các công cụ của Tôpô đại cương. Tôpô đại số là một hướng mạnh của Tôpô chủ yếu dùng công cụ đại số để nghiên cứu tôpô. Trong học phần này ta sẽ làm quen với khái niệm đồng luân và nhóm cơ bản – một trong các khái niệm cơ bản đầu tiên của tôpô đại số. Tiếp theo, học phần sẽ giới thiệu một trong những kết quả tuyệt đẹp của tôpô học – đó là định lý phân loại các mặt compact.
3. Mục tiêu học phần
   3.1. Mục tiêu kiến thức:
   Sau khi học xong học phần này, sinh viên sẽ:
   Hiểu một số khái niệm liên quan đến tôpô đại số:

• Khái niệm về đồng luân.
• Nhóm cơ bản.
• Không gian phủ.
• Đơn hình, phức, chiều topô.

3.2. Mục tiêu kĩ năng:
Sau khi học xong học phần này, sinh viên có khả năng:

• Hiểu được cách chuyển đổi các bài toán đại số bằng phương pháp topô đại số.
• Tính được nhóm cơ bản của đường tròn.
• Hiểu và vận dụng một số phương pháp như tam giác phân để phân loại mặt.

• Nội dung chi tiết học phần

Chương 1. Khái niệm cơ bản.

1. Khái niệm cơ bản.
2. Phạm trù và hàm tử.

Chương 2. Đồng luân.

1. Định nghĩa-Tính chất-Đồng luân tương đối.
2. Kiểu đồng luân và phép co rút.
3. Không gian liên thông đường.

Chương 3. Nhóm cơ bản và không gian phủ.

1.   Nhóm cơ bản-Đẳng cấu giữa các nhóm cơ bản.
2. Nhóm cơ bản của đường tròn.- Xuyến.
3. Đồng cấu địa phương-Tính chất của ánh xạ phủ-Nhóm cơ bản của không gian phủ.

Chương 4. Đơn hình và phức.

1.   Tập độc lập hình học-Đơn hình-Định hướng của đơn hình.
2. Phức-Tam giác phân-Định lí phân loại mặt.
3. Ánh xạ đơn hình-Chiều tôpô-Định lí điểm bất động Brouwer.

1. Từ điển wiki về Tô-pô Đại số
2. Từ điển wiki về đồng luân

Đồng luân

Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các đường nhỏ mô tả một phép biến đổi đồng luân.

Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến

Trong toán học tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp homos = đồng nhất và topos = vị trí) nếu ánh xạ này có thể “biến đổi liên tục” thành ánh xạ kia; một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Định nghĩa

Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và g từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được định nghĩa là ánh xạ liên tục H : X × [0,1] → Y từ tích của không gian X với đoạn đơn vị [0,1] vào Y sao cho với mọi điểm x thuộc X ta có H(x,0)=f(x) và H(x,1)=g(x).

Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H như là “thời gian”, khi đó H mô tả một “biến đổi liên tục” ánh xạ f thành g: tại thời điểm 0 ta có ánh xạ f, tại thời điểm 1 ta có ánh xạ g.

Tính chất

Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của hai xánh xạ theo nghĩa: nếu f₁, g₁ : X → Y là đồng luân, và f₂, g₂ : Y → Z là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng f₂ o f₁ và g₂ o g₁ : X → Z là đồng luân.

Đọc thêm:

ELEMENTARY HOMOTOPY THEORY

3.Từ điển wiki về không gian phủ

4. Từ điển wiki về các nhóm cơ bản

Sau đây là quyển sách kinh điển về Tô-pô Đại số, một quyển sách “nặng ký” về khối lượng kiến thức.

Trên google book giới thiệu từ trang 1 đến trang 54. Muốn đọc các trang từ 55 đến trang 381 các bạn liên hệ với google book để mua 44,95 €. Thầy Sơn sẽ cấp file djv để copy về máy tính và đọc ở nhà.

Trong phần tài liệu tham khảo Thầy Sơn có cuốn Algebraic Topology của E.H Spanier, Mc Graw Hill xuất bản năm 1966. Rất tiếc thầy chỉ có bản tiếng Nga.
Vừa qua anh Lữ Hoàng Chinh đã gửi cho Thầy Sơn bản tiếng Anh.

Google book cho phép đọc chương về Đồng Luân

Cũng trong phần tài liệu tham khảo đề cập đến quyển sách Algebraic Topology: Introduction của W.S.Massey, Springer Verlag xuất bản năm 1990. Như thường lệ, các bạn liên hệ với http://www.alibris.com để mua với giá $101.94.

Một cách không khuyến khích, các bạn có thể đọc “rẻ hơn” tại scribd

Quyển sách sau đây được nhiều anh chị đi trước (Lữ Hoàng Chinh, Dương Hoàng Dũng) đang học TS ở nước ngoài khen hay. Các bạn download file PDF về in thành sách. Tác giả quyển sách cho phép phổ biến rộng rãi.

Algebraic Topology – Allen Hatcher