Đề thi Toán Khối A và khối A1 năm 2012

PHẦN NHIỀU THÍ SINH THƯỜNG LÀM (8,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=x^4 -2(m+1)x^2+m^2 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải:

b) y=x^4 -2(m+1)x^2+m^2 (1)

Đạo hàm: y'= 4x^3-4(m+1)x
y'= 0 \Longleftrightarrow 4x(x^2-m-1)=0 \Longleftrightarrow  \left[  \begin{array}{ll}  x& = 0 \\  x^2 & = m+1  \end{array}  \right.
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m+1>0 \Longleftrightarrow m >-1
Khi đó tọa độ của ba điểm cực trị là:
A \left\{  \begin{array}{ll}  x& = 0 \\  y & = m^2  \end{array}  \right. ;\qquad B \left\{  \begin{array}{ll}  x& = -\sqrt{m+1} \\  y & = -2m-1  \end{array}  \right. ;\qquad C \left\{  \begin{array}{ll}  x& = \sqrt{m+1} \\  y & = -2m-1  \end{array}  \right.
Ta có nhận xét tam giác ABC cân tại A.
Do đó tam giác ABC vuông khi và chỉ khi tam giác này vuông tại A. Điều này tương đương với
BC^2=AB^2+AC^2
\Longleftrightarrow BC^2=2AB^2
\Longleftrightarrow (x_B-x_C)^2=2[(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2]
\Longleftrightarrow 4(m+1)= 2(m+1)+2(m+1)^4
\Longleftrightarrow (m+1)^3=1m+1 \ne 0
\Longleftrightarrow m+1 = 1 \Longleftrightarrow m=0.


Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: \sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\cos x-1 \qquad (1)

Giải:

(1) \Longleftrightarrow 2\sqrt{3}\sin x\cos x +2\cos^2x-2\cos x=0
\Longleftrightarrow \cos x(\sqrt{3}\sin x +\cos x-1)=0
\Longleftrightarrow  \left[  \begin{array}{ll}  \cos x& = 0 \\  \sqrt{3}\sin x +\cos x& = 1  \end{array}  \right.

\displaystyle\Longleftrightarrow  \left[  \begin{array}{ll}  \cos x& = 0 \\  \cos (x-\displaystyle\frac{\pi}{3})& = \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}  \end{array}  \right.

\Longleftrightarrow  \left[  \begin{array}{ll}  x& = \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi \\  x& = k2\pi\\  x& \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi  \end{array}  \right.

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:


\left\{  \begin{array}{ll}  x^3-3x^2-9x+22& = y^3+3y^2-9y \\  x^2+y^2-x+y & = \displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right.

Giải:

Đặt u =x ; \quad v= -y, hệ phương trình trở thành:

\qquad  \left\{  \begin{array}{ll}  u^3-3u^2-9u+22& = -v^3+3v^2+9v \\  u^2+v^2-u-v & = \displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right.

\Longleftrightarrow  \left\{  \begin{array}{ll}  u^3+v^3-3(u^2+v^2)-9(u+v)+22& = 0\\  u^2+v^2-(u+v) & = \displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right.


Đặt S=u+v ; P=u.v ; \ S^2\ge 4P. Hệ phương trình trở thành:

\Longleftrightarrow  \left\{  \begin{array}{ll}  S^3-3PS-3(S^2-2P)-9S+22& = 0\\  S^2-2P-S & = \displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right.


Giải hệ này ta được: \qquad  \left\{  \begin{array}{ll}  S& = 2 \\  P & = \displaystyle\frac{3}{4}  \end{array}  \right.


Vậy: \qquad  \left\{  \begin{array}{ll}  u& = \displaystyle\frac{3}{2}\\  v & = \displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right. \quad \vee \quad  \left\{  \begin{array}{ll}  u& = \displaystyle\frac{1}{2}\\  v & = \displaystyle\frac{3}{2}  \end{array}  \right.


Do đó nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

\qquad  \left\{  \begin{array}{ll}  x& = \displaystyle\frac{3}{2}\\  y & = -\displaystyle\frac{1}{2}  \end{array}  \right. \quad \vee \quad  \left\{  \begin{array}{ll}  x& = \displaystyle\frac{1}{2}\\  y & = -\displaystyle\frac{3}{2}  \end{array}  \right.


Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân : I=\displaystyle\int_1^3\dfrac{1+\ln (x+1)}{x^2}dx


Đặt
u = 1+\ln (1+x) \Longrightarrow du=\displaystyle\frac{dx}{1+x}
dv = \displaystyle\frac{dx}{x^2} \quad ; \quad v = -\frac{1}{x}
Vậy I= \left[ -\displaystyle\frac{1+\ln (1+x)}{x}\right]_1^3 +\underbrace{\displaystyle\int_1^3\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}dx}_{\text{\textit{J}}}
Ở đây: J=\displaystyle\int_1^3\left[\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right]dx=  \left[\displaystyle\ln\left|\displaystyle\frac{x}{x+1}\right|\right]_1^3 =\ln\displaystyle\frac{3}{2}=\ln 3-\ln 2

Khi đó: I = \displaystyle\frac{2}{3}-\displaystyle\frac{2}{3}\ln 2+\ln 3


Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60^\circ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SABC theo a.


Trong tam giác AHC ta có:
HC^2=AH^2+AC^2-2AH.AC\cos 60^\circ = \left(\displaystyle\frac{2a}{3}\right)^2+a^2-2\displaystyle\left(\frac{2a}{3}\right).a. \displaystyle\frac{1}{2}
\Longrightarrow HC=\displaystyle\frac{a\sqrt{7}}{3}.
Trong tam giác vuông SHC ta có: \tan 60^\circ = \displaystyle\frac{SH}{HC} \Longrightarrow SH=\displaystyle\frac{a\sqrt{21}}{3}
Vậy V=\displaystyle\frac{1}{3}Bh=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\displaystyle\frac{a\sqrt{21}}{3} =\displaystyle\frac{a^3\sqrt{7}}{12}
Ta có công thức: V=\displaystyle\frac{1}{6}. SA.BC.\text{d}(SA,BC).\sin (SA, BC)
Ở đây: SA=\sqrt{SH^2+HA^2} = \displaystyle\frac{5a}{3}
\cos (SA,BC)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC}  =\displaystyle\frac{\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC}  =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC}  =\displaystyle\frac  {  \displaystyle\frac{2}{3}.a.a.\cos 60^\circ  }  {  \displaystyle\frac{5a^2}{3}  } = \displaystyle\frac{1}{5}
\Longrightarrow \sin (SA,BC)=\displaystyle\frac{\sqrt{24}}{5}.


Tóm lại: \text{d}(SA,BC) = \displaystyle\frac{6V}{SA.BC.\sin (SA,BC)}=  \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^3\sqrt{7}}{2}}{\displaystyle\frac{5a}{3}.a.\displaystyle\frac{\sqrt{24}}{5}} = \displaystyle\frac{a\sqrt{42}}{8}.


Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \displaystyle\frac{x+1}{2} =\displaystyle\frac{y}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{1} , mặt phẳng (P) : x + y - 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng \Delta cắt d(P) lần lượt tại MN sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Giải:

M \in d nên M(-1+2t;t;2+t). Vì N là điểm đối xứng của M qua A nên: N(3-2t;-2-t;2-t).

N \in (P) nên: 3-2t-2-t-2(2-t)+5=0 \Longleftrightarrow t=2.

Khi đó M(3;2;4)N(-1;-4;0).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}= (2;3;2).

Do đó phương trình đường thẳng \Delta là:

d: \displaystyle\frac{x-1}{2} =\displaystyle\frac{y+1}{3}=\displaystyle\frac{z-2}{2}

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa \displaystyle\frac{5\bar{z}+i}{z+1}=2-i. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z^2.

Giải:

Giả sử z=a+bi \Longrightarrow \bar{z}=a-bi. Khi đó đẳng thức đã cho được viết:
5(a+(1-b)i)=(2-i)(a+1+bi).
\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}  5a&=2a+2+b\\  1-b&=-a+2b-1  \end{array}\right.
\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}  3a-b&=2\\  a-3b&=-2  \end{array}\right.
\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}  a&=1\\  b&=1  \end{array}\right.
Vậy z= 1+i \Longrightarrow z^2=2i. Do đó w=2+3i.
Ta suy ra |w|=\sqrt{13}.


Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s