Định lý Steiner

Bài này còn ở dạng phác thảo, sẽ được biên tập kỹ lưỡng để các bạn sinh viên có thể tham khảo.

Định lý:
Trong mặt phẳng xạ ảnh P^2 cho hai đường thẳng a, b và một ánh xạ xạ ảnh f từ a vào b mà không phải là phép phối cảnh. Khi đó bao hình của họ đường thẳng nối cặp điểm tương ứng là một conic tiếp xúc với a, b và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng uv trong đó uv lần lượt là đường thẳng nối a \cap b với ảnh và tạo ảnh của a \cap b qua ánh xạ f.

Trước hết ta định nghĩa một số khái niệm tương ứng.

  1. Tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng: Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin cho 3 điểm thẳng hàng A, B, C. Nếu \overrightarrow{CA} = \lambda \overrightarrow{CB} thì ta nói \lambda là tỉ số đơn của ba điểm C, A, B theo đúng thứ tự đó và ký hiệu là (CAB).
    Trong \LaTeX ta code điểm C sao cho CA = λ·CB  bởi
    \coordinate (C) at ($(A)!λ!(B)$)
  2. Tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng:Trong không gian xạ ảnh cho 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D. Tỉ số kép của 4 điểm A, B, C, D được ký hiệu là (ABCD) và được định nghĩa là tỉ số của hai tỉ số đơn:\displaystyle (ABCD)=\frac{(CAB)}{(DAB)}
  3. Một ánh xạ f từ đường thẳng xạ ảnh a vào đường thẳng xạ ảnh b được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép của 4 điểm bất kỳ.
  4. Một ánh xạ xạ ảnh được gọi là phép phối cảnh nếu giao điểm của ab được biến thành chính nó.

Trong \LaTeX ta minh họa hình vẽ bằng code sau đây:

\usetikzlibrary{calc}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (-1,-1);
\coordinate (B) at (1,0);
\coordinate (C) at ($(A)!-0.3!(B)$);
\coordinate (X) at ($(A)!-1!(B)$);
\coordinate (Y) at ($(A)!1.2!(B)$);
\draw (X)–(Y);
\fill (A) circle (0.5mm) node[above]{$A$};
\fill (B) circle (0.5mm) node[below]{$B$};
\fill (C) circle (0.5mm) node[above]{$C$};
\end{tikzpicture}

\LaTeX sẽ dùng ngôn ngữ lập trình TikZ để vẽ hình minh họa cho Định lý Steiner như sau:

code:

\usetikzlibrary{calc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\def\n{20} % nb. subdivisions OA and OB
\def\m{8} % nb. of tangents outside [OA], [OB]
\def\la{10}% distance OA
\def\lb{10}% dist. OB
\def\a{-10}% angle OA
\def\b{75}% angle OB
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (\a:\la);
\coordinate (B) at (\b:\lb);
\draw[thick] ($(O)!2.5!(B)$)–($(B)!1.5!(O)$);
\draw[thick] ($(O)!2.5!(A)$)–($(A)!1.5!(O)$);
\foreach \i in {1,…,\n}{
\draw[red] ($(O)!{\i/\n}!(A)$)–($(O)!{(1-\i/\n+1/\n}!(B)$);
}
\foreach \i in {1,…,\m}{
\coordinate (X) at ($(O)!{1+\i/\n}!(A)$);
\coordinate (Y) at ($(O)!{-\i/\n}!(B)$);
\draw[blue] ($(X)!-0.8!(Y)$)–(Y);
\coordinate (X) at ($(O)!{1+\i/\n}!(B)$);
\coordinate (Y) at ($(O)!{-\i/\n}!(A)$);
\draw[green] ($(X)!-0.8!(Y)$)–(Y);
}
\fill (A) circle (2pt)node[above]{$A$};
\fill (B) circle (2pt)node[right]{$B$};
\end{tikzpicture}

Biên dịch bằng pdflatex ta được hình vẽ:

Code được viết bởi Hugues Vermeiren

http://latex-community.org/know-how/432-plane-affine-constructions-tikz

Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s