Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Điều kiện cần cho tính đơn điệu của hàm số:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng (a;b).

  1.  Nếu f'(x)>0 với mọi x\in (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).
  2. Nếu f'(x)<0 với mọi x\in (a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b).

Mở rộng

  1. Nếu f'(x)\geqslant 0 với mọi x\in (a;b)dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).
  2. Nếu f'(x)\leqslant 0 với mọi x\in (a;b)dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b).

2. Điều kiện đủ cho tính đơn điệu của hàm số:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng (a;b).

  1. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì f'(x)\geqslant 0
  2. Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f'(x)\leqslant 0

Từ đó ta suy ra điều kiện cần và đủ đối với các hàm số

  • bậc 2: y=ax^2+bx+c, a \ne 0;
  • bậc 3: y=ax^3+bx^2+cx+d, a \ne 0,
  • bậc 4: y=ax^4+bx^2+c, a \ne 0,
  • nhất biến y=\dfrac{ax+b}{cx+d}
  • hữu tỉ y=\dfrac{ax^2+bx+c}{b'x+c'}
  1. Hàm số y =f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x) \geqslant 0.
  2. Hàm số y =f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x) \leqslant 0.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Với giá trị nào của m thì hàm số \displaystyle y=x^3+(m-2)x^2+(m^2-4)x+9 đồng biến trên \mathbb{R}.

Giải

  • Tập xác định: D=\mathbb{R}
  • Đạo hàm: y'=3x^2+2(m-2)x+m^2-4
  • Xét tam thức bậc hai g(x)=3x^2+2(m-2)x+m^2-4.
  • Ta có: \Delta'= (m-2)^2-3(m^2-4)= -2m^2-4m+16
  • Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y'\geqslant 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.
  • Điều này tương đương với:
    \Delta' \leqslant 0 \Longleftrightarrow -2m^2-4m+16\leqslant 0\Longleftrightarrow m^2+2m-8\geqslant 0
    \Longleftrightarrow m \leqslant -4 hay m \geqslant 2.
Advertisements

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s